Las paradojas de los conjuntos

Como veo que os están gustando los pasatiempos matemáticos que estoy poniendo, vamos a seguir hablando de ello y esta vez voy a centrarme en algo que casi todos conocéis pero que da más juego del que pensabais: los conjuntos.

Casi todos hemos estudiado los conjuntos de críos y nos han puesto estos clásicos dibujos, llamados diagramas de Venn, para aprenderlos:


La definición de un conjunto es más complicada de lo que parece. Generalmente, para comprenderlo a nivel básico, basta con decir que son una lista de elementos no repetidos. De ese modo, la lista de los números 1, 3, 5 y 27 es un conjunto, pero también lo es, por ejemplo, una lista de la compra (peras, manzanas, tomates y salmón). Los elementos no tienen por qué tener nada en común, basta con listarlos y punto (peras, 2, tomates y 27).

Sin embargo, qué duda cabe que el interés de esto es agrupar elementos que tienen algo en común, y aquí es donde empiezan las primeras paradojas y problemas relativos a los conjuntos. Veamos la primera. Tiene muchas versiones, pero mi nombre favorito, por ser patrio, es la Paradoja del Barbero de Sevilla:

El Barbero de Sevilla afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos y sólo a esos. ¿Quién afeita al Barbero de Sevilla?

Vamos a ver, razonemos. Supongamos que el Barbero de Sevilla se afeita a sí mismo. Entonces, afeita a un hombre que se afeita a sí mismo, y eso no puede ser, porque hemos dicho que afeita sólo a los que no se afeitan a sí mismos.

Bueno vale, entonces supongamos que no se afeita a sí mismo. Entonces, hay un hombre que no se afeita a sí mismo al que él no afeita, y eso tampoco puede ser porque afeita a todos los que cumplen con esa característica.

Esta paradoja la formuló Bertrand Russell y el problema central reside en que cuando definimos un conjunto no listando sus elementos, sino describiendo cómo se comportan en torno a un elemento (el Barbero de Sevilla), ese propio elemento puede generar una contradicción, pues hay que ver cómo se comporta con respecto a sí mismo. Hay infinidad de variantes a esta paradoja, y algunas muy bien disfrazadas, por ejemplo:

En la isla de los Caballeros y Escuderos, todos los Caballeros dicen la verdad y todos los Escuderos mienten. Un habitante dice la frase 'Yo soy Escudero'. ¿Es Caballero o Escudero?

Es fácil darse cuenta de que llegamos a un problema similar: si es Caballero, nunca mentirá, pero si es Escudero, nunca dirá la verdad.

Otra variante más graciosa es considerar la bolsa que contiene a todas las bolsas. Entonces la bolsa que contiene a todas las bolsas... deberá estar dentro de la bolsa que contiene a todas las bolsas, pues en concreto es una bolsa también. Es decir, estará dentro y fuera de sí misma al mismo tiempo, lo cual haría que una bolsa no estuviera dentro de la bolsa que las contiene a todas. ¡Es una bolsa mágica!

En estos ejemplos entra también en parte la llamada ´lógica' matemática. Le pongo comillas porque a poco que uno empieza a conocerla bien, la lógica está llena de afirmaciones trampa nada lógicas. Por ejemplo, esta frase es una de mis favoritas y me gusta mencionarla alguna vez:

Dado que se puede parar un reloj tocándolo, se podrá poner en marcha sin necesidad de tocarlo.

La frase es evidentemente falsa, pero lo interesante es darse cuenta de que a menudo las palabras pueden ser malinterpretadas si se ordenan con ingenio. O igual no es falsa, ¡y podemos tener superpoderes mentales! ¡Magneto, prepárate!

Otra paradoja lógico-conjuntista que adoro es la de la tarjeta de dos lados de P.B.E. Jourdain, y que no es más que una variante de los Caballeros y Escuderos de antes. Tenemos una tarjeta donde en un lado pone:


Giramos, y en el lado contrario pone:


¿Qué oración es verdadera? ¿Qué oración es falsa? Hala, ahí os lo dejo.

Para terminar, y mostrar que los conjuntos son algo mucho más complejo de lo que parece, vamos a introducir una noción más que interesante. Yo dije que un conjunto es una lista de elementos... pero en ningún momento dije que esa lista tuviera que ser finita, ¿verdad? Por ejemplo, puedo listar todos los números divisibles por tres, y esa lista es claramente infinita. Hay veces que hasta podríamos ignorar si una lista es finita o no, como todas las estrellas del Universo o todos los números perfectos (se ignora si hay infinitos de ambas cosas).

Muy bien, sencillo, ¿verdad? Puedo coger infinitos elementos. Permitidme entonces presentaros un resort de vacaciones más que curioso: el hotel de las habitaciones infinitas de Hilbert.


Este hotel tiene la peculiaridad de que posee un número infinito de puertas y, por tanto, de habitaciones, todas bien numeraditas (1, 2, 3, etcétera). Un buen día llegó un huésped nuevo, pero el hotel estaba lleno. ¿Qué hicieron los dueños? Pues muy fácil: le dijeron a cada cliente si podía hacer el favor de cambiarse a la habitación siguiente (es decir, el de la habitación 1 fue a la 2, el de la 2 a la 3, y así todos). De ese modo, el nuevo cliente pasó a la 1, y nadie se tuvo que ir... ¡a pesar de estar el hotel lleno!

Otro día vinieron una infinidad de nuevos huéspedes. Para alojarlos ya no era tan fácil como pedirles a todos se que desplazaran una habitación; ni siquiera valía que se desplazaran mil, o un millón, puesto que eran una infinidad. Bueno, pues llegaron de nuevo a la solución: bastaba con que cada huésped antiguo se realojara en la habitación que valía el doble de la que ocupaba. El huésped 1 fue a la 2, el huésped 2 a la 4, el huésped 3 a la 6... de ese modo todas las habitaciones impares quedaron libres, ¡y entraron una infinidad de nuevos clientes!

¿Dónde está la paranoia de todo esto? Tenemos que tener en cuenta que hablamos de un conjunto infinito y, por tanto, sin final. Eso explica la primera paradoja. Al no haber final, no hay última habitación y, por tanto, no hay huésped que no tenga habitación siguiente a la que ir. En el segundo caso es aún más curioso. Básicamente, lo que decimos es que hay tantos números pares... como de todos los números naturales (1, 2, 3, 4...), porque si los asociamos:

1 - > 2
2 - > 4
3 - > 6
...
n - > 2*n

Ocurre que a todo número natural le corresponde un par, pero también a todo par le corresponde un número natural. Por tanto el número de pares y de números naturales es el mismo. Pero los números naturales son más que los pares, porque para empezar engloban a todos los pares y, además, a todos los impares... ¿dónde está la explicación a esto? Pues en algo muy extraño, que es que un conjunto infinito puede contener dentro de él a otros conjuntos con tantos elementos como él mismo, y contenerlo de manera estricta, es decir, que no sea igual al total. Eso, en un conjunto finito, es imposible: si un conjunto de mil elementos contiene a otro de mil elementos, tiene que ser el mismo conjunto por narices. Raro, ¿verdad?

Bueno, espero que os hayan gustado estas curiosidades. ¡Otro día, más!

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