El problema del sofá

Hacía mucho que no hablaba de curiosidades matemáticas en la página web. Por un tiempo he decidido que os voy a hablar de conjeturas matemáticas, que son problemas para los que aún no existen solución, al menos en la fecha en la que los estoy contando. Así pues, allá vamos, empezando con esta que a mis alumnos en su momento les resultaba muy curiosa.

Este gracioso e interesante problema entra de lleno en un tema que muchas personas han vivido de primera mano: las mudanzas. La idea consiste en que para sacar los muebles de una casa hay que desplazarlos a menudo a lo largo de corredores que limitan su tamaño. Todos sabemos de manera intuitiva que, si el corredor es recto, el tamaño del mueble se verá limitado por el ancho del mismo (el techo no lo consideramos como una limitación puesto que casi todas las casas tienen el techo a la misma altura en todas sus habitaciones, incluida la del propio mueble). El problema del sofá se pregunta lo siguiente: visto desde arriba, ¿cuál es el área más grande que puede tener un sofá teniendo en cuenta que debemos maniobrarlo por un corredor en forma de L y un metro de ancho?

Es evidente si lo pensáis un momento que un sofá válido puede ser cuadrado y de lado un metro, pero también es evidente si lo pensáis con algo más de calma que hay sofás más grandes que cabrían también, jugando con las formas y dándoles aspecto curvo. Hay propuestas muy interesantes, como el llamado Sofá de Hammersley (no, no es un mueble de Ikea):


Para este sofá se sabe que el área vale:


Pero el área máxima (llamada constante del sofá) no ha sido encontrada, de hecho ya se han propuesto sofás de más área que éste. Actualmente el sofá de mayor área que se ha logrado dibujar es el Sofá de Gerver, una construcción mucho más compleja que el sofá de Hammersley y que está formado por 18 curvas diferentes:



Para el Sofá de Gerver, el área vale aproximadamente 2,2195.

Por cierto que una de las principales aplicaciones de esta conjetura sería para robótica, en concreto para la movilidad autónoma de los robots a través de pasillos y obstáculos.

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