sábado, 29 de diciembre de 2018

Matemalditas: la forma del Universo

En otro artículo de las matemalditas, hablamos de las formas de los objetos y la ciencia que las estudia, la topología. En concreto, conseguimos la titánica tarea de clasificar todas las formas existentes de los objetos de dos dimensiones, recordando que los objetos de dos dimensiones no son los objetos planos, sino los que 'viven' dentro de las tres dimensiones, es decir, todo objeto que conocemos, incluyéndonos a nosotros mismos, pues incluso los que parecen unidimensionales en el fondo poseen dos.

Los topólogos llevan muchos años estudiando la clasificación de esas mismas formas en los objetos de tres dimensiones, que son aquellos que viven dentro de las cuatro dimensiones. Que nosotros sepamos, sólo existe un objeto así: el propio Universo. Pero qué duda cabe que es un objeto tan importante como para que merezca la pena el estudio de sus posibles formas. Entre otras cosas, porque conocer la forma del Universo nos permitirá desarrollar el viaje espacial y, por extensión, prolongar el futuro de la humanidad.


Por desgracia, no se ha conseguido aún clasificar las superficies de tres dimensiones tal y como se ha hecho con las de dos dimensiones, es decir, no sólo es que no sepamos qué forma tiene el Universo, es que ni sabemos con seguridad todas las posibilidades. Pero aun así, existen ciertas propiedades que debería cumplir. Por otro lado, la demostración de la Conjetura de Poincaré en los albores del Siglo XXI (hablaremos de ella más adelante) ha ayudado a que haya que buscar menos formas.

Es importante recordar que es imposible para nosotros visualizar los objetos de dimensión tres debido a que para ello deberíamos ser capaces de verlos como una pequeña parte de un espacio de cuatro dimensiones. Por poner una analogía, podemos visualizar una esfera porque podemos verla encerrada dentro de las tres dimensiones, pero un ser bidimensional no podría hacerlo porque le falta el concepto de altura (la tercera dimensión), por tanto si estuviera sobre ella jamás podría situarse en la posición privilegiada de estar fuera. Del mismo modo, no podemos salir de las tres dimensiones para observarlas porque desconocemos la dirección que hay que tomar para movernos a lo largo de la cuarta dimensión, o peor aún, podríamos conocerla por métodos abstractos pero aun así no podemos visualizar nada porque nuestos sentidos limitados nos lo impiden.

De modo que la cosa es más complicada. Mucho más. Ahora, el Universo es un cuerpo físico, y como tal se puede (y hemos) experimentado con él. Eso sí, nuestros experimentos son muy burdos, y en muchas ocasiones no tenemos ni eso, sino sólo unas cuantas teorías. A partir de ahora vamos a admitir como ciertos muchos de los principios que cimentan la física, y vamos a ver qué debe cumplir nuestro Universo para que sigan siendo verdaderos:

1) Debe ser orientable. En el artículo de la topología expliqué que los objetos como la banda de Moebius no son orientables porque sólo poseen una cara. En ellos conceptos como dentro y fuera no tenían sentido, porque pasábamos de uno a otro sin ningún problema (no como en una esfera, donde no hay manera de hacerlo sin pegar cortes). Si nuestro Universo no fuera orientable muchos conceptos que dependen de los sentidos se verían muy perturbados. Por ejemplo, unos astronautas que hicieran una ruta determinada podrían volver como una imagen especular de ellos mismos, es decir, con el corazón a su derecha. Esto parece anecdótico, pero afecta a todos los aspectos imaginables. Por poner otro ejemplo, el llamado spin de un electrón (o sentido de giro) cambiaría también, lo cual pone en grave tela de juicio la mecánica cuántica desarrollada hasta la fecha. De modo que, mientras no haya evidencias físicas que digan lo contrario, es razonable suponer que las leyes de la física, biología y otras ciencias experimentales que conocemos no se van a volver un reflejo de ellas mismas.


2) Es isótropo. Esto, que ahora explicaré qué quiere decir, es una consecuencia tanto de la teoría general de la relatividad como de las observaciones realizadas hasta la fecha. La teoría de Einstein dice que la geometría del Universo es una consecuencia de la gravedad que existe en cada punto (el famoso ejemplo de la sábana que se hunde con pesos), y las observaciones dicen que la distribución de materia es, a gran escala, aproximadamente la misma en todas las direcciones que miremos. Como la materia es responsable de la gravedad, eso nos da una forma uniforme. La consecuencia inmediata de este hecho es que en nuestro Universo modélico (que puede no ser exacto al real pero es muy aproximado, como todos los modelos físicos) la densidad es una constante. Es importante reseñar que, aunque la densidad es masa partido volumen, que sea constante no implica ni que el volumen sea finito ni que la masa sea finita.


3) Posee sólo uno de tres tipos de geometrías. Esto es consecuencia de que es isótropo. Una geometría sirve para medir distancias dentro del objeto. Por ejemplo, la geometría de una esfera no tiene nada que ver con el plano, pues la distancia más corta en la esfera es un trozo de curva llamado geodésica (que es el que emplean los aviones) mientras que en el caso del plano es la clásica línea recta. La geometría de la esfera se llama elíptica y la del plano euclídea; la tercera geometría importante es llamada hiperbólica. Es muy clásico escuchar en relatos de ciencia ficción e incluso de terror, como La Llamada de Cthulhu de H.P. Lovecraft, describir edificios o lugares como no euclídeos. Lo que el autor quiere transmitir es que las distancias no siguen nuestros conceptos intuitivos. En la geometría hiperbólica, por centrarme en una de ellas, puede incluso haber varias clases de atajos. Una veces puede ser más conveniente seguir una línea recta y otras un trozo de curva.


Trasladando todo este rollo al Universo, se puede decir que uno espera que su geometría no sea euclídea, porque si lo es, entonces no hay atajos, ni podemos hacer trampa, ni nada de nada, las rectas son los caminos más cortos y eso nos deja sin una esperanza de recorrer muy deprisa grandes distancias. De momento no hay evidencias de cuál de las tres geometrías puede ser la del Universo, de hecho cada cierto tiempo, como si fuera una moda, se piensa una de ellas en detrimento de las otras dos. Pero lo que sí es importantísimo es que, debido a que el Universo está en expansión (el conocido Big Bang), cada una de las tres geometrías da lugar a un final del Universo distinto:


  • Si nuestra geometría es elíptica, la expansión se detendrá llegado un momento y después se contraerá (el conocido Big Crunch). El volumen sería finito y por tanto la masa también (pues la densidad es finita). Eso sí, a medida que pasara el tiempo tenderíamos a estar muuuy apretaditos. No como en una discoteca, mucho más, de hecho, toda la masa del Universo acabaría en un punto. Todo lo existente acabaría muerto, de eso no hay duda, pero la esperanza es que podría haber un nuevo Big Bang.
  • Si nuestra geometría es euclídea, nuestro Universo se expandirá de manera continua, pero el ritmo de crecimiento será cada vez más pequeño, tenderá a ser cero de hecho. Como esto es un modelo matemático, se puede albergar la esperanza de que tenderá a ser cero se podrá interpretar en la realidad como se detendrá. La ventaja de esto es que llegaremos a un punto de estabilidad, y todo podría continuar de manera indefinida.
  • Si nuestra geometría es hiperbólica, entonces el Universo también se expandirá, pero en este caso nada lo detendrá ni ralentizará. Eso quiere decir que el volumen tenderá a ser infinito (pues no hay freno a la expansión), y como la densidad es una constante y la masa del Universo es finita (lo veremos enseguida) la densidad será cada vez más pequeña. ¿Qué quiere decir eso? Que en este Universo no nos vamos a contraer cada vez más, pero dado que la materia está distribuida de manera uniforme en todos sus puntos acabaríamos como moléculas dispersas, todas separadas y sin formar planetas, ni estrellas, ni vida, ni nada de nada. Otro final desalentador, y encima éste sería el definitivo, porque el crecimiento seguiría y seguiría hasta el fin de los tiempos y más allá, si se me permite ser literario.

4) La masa del Universo es finita. Ya lo he comentado antes y de hecho se deducía en el caso de la geometría elíptica, pero es que es razonable suponerlo siempre. El motivo, de nuevo, es la teoría de la relatividad, aunque la física clásica ya tenía mucho que decir al respecto. De todos es sabido que la energía total se conserva, ni se crea ni se destruye, todo ese rollo. Pero la relatividad nos dice que masa y energía en el fondo son una misma cosa (la famosa formulilla de E igual a m por c al cuadrado). Por tanto la masa es finita.

5) Es simétrico. Ésta es muy importante. Es consecuencia de las observaciones, y la idea intuitiva es que la geometría del Universo no cambia radicalmente según el lugar que miremos de él (como en un plano o en una esfera, pero no como por ejemplo en una pirámide, cuyos picos traerían consigo nuevas situaciones extrañas).

El motivo de que esto sea no importante, importantísimo, es que de ser cierto, sólo existen cuatro posibilidades para la forma del Universo. Y los ganadores son:

LA ESFERA DE TRES DIMENSIONES (no confundir con la esfera de toda la vida, que tiene dos dimensiones. Ésta, como ya decía al principio, no se puede visualizar).

EL ESPACIO PROYECTIVO. Es parecido al plano proyectivo comentado en la entrada de la topología, pero con una dimensión más. Éste, sin embargo, es no orientable así que es un candidato improbable.

EL ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL. El que nos enseñan en el colegio, el de toda la vida, largo, ancho y alto. Lo bueno de que fuera éste es que tiene el futuro asegurado. Lo malo, que las distancias sólo son rectas, de modo que estaríamos atrapados en nuestra propia galaxia por mucho tiempo.

EL ESPACIO HIPERBÓLICO TRIDIMENSIONAL. Casi al revés que el anterior. Lo bueno, que es posible que viajáramos más deprisa con atajos casi mágicos. Lo malo, que está condenado por definición (se trata del que se expandía sin parar ni frenarse).


Respecto a esto, una observación. Recurriendo a un argumento de lógica elemental, si suponemos que nuestro Universo es compacto (que como ya se explicó en la entrada de geometría es como decir que tiene propiedades parecidas a ser finito pero no tiene por qué serlo) y que es isotrópico, la geometría más probable al coger una forma de tres dimensiones cualquiera al azar es la hiperbólica, de modo que es la principal candidata a ser la verdadera geometría del Universo. De todos modos, ya se sabe que muchas veces la excepción confirma la regla.

Y por último, sólo mencionar en qué consiste la Conjetura de Poincaré, demostrada por Grigori Perelman, y en qué puede ayudar a conocer la forma del Universo. En el artículo de la topología se explicaba que la topología considera con igual forma dos objetos que, sin cortar ni pegar, pueden ser deformados hasta que uno sea como el otro (como un balón de rugby y uno de fútbol, o incluso un tenedor y una cuchara). De ese modo afirmé que de hecho casi cualquier objeto no agujereado es, en el fondo, como una esfera.

Esto, por desgracia, no es tan sencillo de afirmar en una dimensión más. Parece probable, aunque sólo fuera por analogía, pero no es seguro. Esa es la Conjetura de Poincaré: todos los objetos de tres dimensiones sin agujeros tienen, si los deformamos sin cortar ni pegar, la misma forma que una esfera tridimensional.

La conjetura de Poincaré juega con lo siguiente: imaginemos que tenemos bandas elásticas circulares de las de toda la vida. Si apoyamos una sobre una esfera es claro que arrugándola, la podemos deformar hasta una sola bola de goma, que consideraremos como un punto. Más aún, da igual dónde la pongamos, que siempre podemos hacerlo, ¿no? Bueno, este procedimiento permite encontrar los agujeros.

La goma elástica se va juntando poco a poco, hasta convertirse en un solo punto (una bola de goma en realidad).

Ahora imaginemos un donut. Si una banda elástica lo atraviesa como en las dos que aparecen abajo, da igual cómo nos pongamos, que no va a haber manera de deformarlas sin cortarlas hasta que sean un punto. Eso ocurre por culpa del agujero. Si hay más de uno, pues peor aún, más posibilidades.

Es imposible que estas bandas elásticas se conviertan en una bolita de goma: el agujero del donut lo impide.

Los objetos que como la esfera cumplen que toda banda elástica sobre ellos puede ser deformada hasta ser un punto se llaman simplemente conexos. Los que no tienen agujeros lo son, por ejemplo. ¿Pero son los únicos? Esa es la conjetura de Poincaré, es decir, si un objeto es simplemente conexo, entonces lo podemos deformar hasta que sea igual a una esfera.

Para curvas (una dimensión) y para superficies (dos dimensiones) es fácil e intuitivo demostrarlo. Es a partir de tres cuando se complica, y además resulta interesante, no sólo para el Universo (demostrarla implica catalogar mejor sus posibles formas y por tanto que las posibilidades sean más claras), tiene aplicación en innumerables teorías científicas y la Fundación Clay ofrece un millón de dólares a quien lo resuelva por ser uno de los grandes problemas del tercer milenio que hará avanzar la ciencia con su resolución.

Hubo matemáticos como Smale, Stalling, Wallace y Zeeman que lo demostraron para ciertas dimensiones concretas (cuatro, cinco, seis...) con argumentos distintos. En 1980 Freedman usó un mismo argumento y lo validó para todas las dimensiones iguales o mayores que cuatro. Pero el caso tridimensional (es decir, el que concierne a la forma del Universo) seguía irresuelto, y es el que ha demostrado Perelman.

Perelman se pasó ocho años de su vida recluido para resolver la conjetura, y no se presentó a recoger la medalla Fields en Madrid en Agosto de 2006. Para un matemático la medalla Fields es el mayor galardón al que puede aspirar, ya que Nobel no creó el premio Nobel de Matemáticas (según dicen, porque su mujer se la pegaba con un matemático... para que luego digan que viven en su mundo). Además de eso, por estúpidos motivos que no alcanzo a comprender ni apoyar, sólo es entregada si se tiene menos de cuarenta años. Perelman ya nunca más podrá recibirla de nuevo. Más aún, rechazó el millón de dólares ofrecido por la Fundación Clay, quién sabe si por motivos personales, políticos o incluso de seguridad.

Hay quien piensa que la conjetura no es para tanto. Sin embargo, sus futuras aplicaciones aún son inimaginables, así como el nivel de comprensión geométrica que nos otorgará. Citando al propio Poincaré, "El pensamiento es sólo un relámpago en el medio de la larga noche, pero ese relámpago lo es todo".

Y también es todo por ahora. Espero que esto haya servido para que comprendan mejor el Universo que les rodea.

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